Question

函數f（x）=x2+

256

x2

+a+b的零點都在（-∞，-2]∪[2，+∞）內，求a²+b²．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：先根據函數的零點的范圍求出a+b的范圍，再由點到直線的距離公式求出

a2+b2

，從而求出a²+b²．

解答： 解：若f（x）的零點為x₀，
則x02+

256

x02

+a+b=0，
而x02+

256

x02

≥2

256

=32，
∴a+b=-（x02+

256

x02

）≤-32，
∴（a，b）可以看作是x+y≤-32范圍內的點，
而d=

a2+b2

可以看作是原點到點（a，b）的距離，
∴點（a，b）在x+y=-32上時d最小，
∴d=

32

2

=16

2

，
∴a²+b²的最小值是512．

點評：本題考察了函數的零點問題，基本不等式的應用，是一道基礎題．