Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，∠BCC1= ，AB=BB1=2，BC=1，D為CC1中點．
（1）求證：DB1⊥平面ABD；
（2）求二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BC=B1C1=1，CD=C1D= BB1=1，∠BCC1= ，∠B1C1D=π﹣∠BCC1= ，

∴BD=1，B1D= ，

∴BB12=BD2+B1D2，∴BD⊥B1D．

∵AB⊥平面BB1C1C，BD平面BB1C1C，

∴AB⊥B1D，又AB平面ABD，BD平面ABD，AB∩BD=B，

∴DB1⊥平面ABD

（2）解：以B為原點，以BB1，BA所在直線為x軸，z軸建立空間直角坐標系B﹣xyz，如圖所示：

則A（0，0，2），D（ ， ，0），B1（2，0，0），A1（2，0，2），

∴ =（ ，﹣ ，0）， =（﹣2，0，2）， =（0，0，2）．

設平面AB1D的法向量為 =（x1，y1，z1），平面A1B1D的法向量為 =（x2，y2，z2），

則 ， ，即 ， ，

令x1=1得 =（1， ，1），令x2=1得 =（1， ，0）．

∴cos＜ ， ＞= = = ．

∵二面角A﹣B1D﹣A1是銳角，

∴二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值為 ．

【解析】（1）利用余弦定理計算BD，B1D，再由勾股定理的逆定理得出BD⊥B1D，由AB⊥平面BB1C1C得出AB⊥B1D，于是得出B1D⊥平面ABD；（2）以B為原點建立坐標系，求出平面AB1D的法向量 ，平面A1B1D的法向量 ，計算cos＜ ， ＞即可得出二面角的余弦值．
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．