Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N* ， 且a1 ， a2+5，a3成等差數(shù)列．
（1）求a1
（2）證明 為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；
（3）設(shè)bn=log3（an+2n），且Tn= ，證明Tn＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：在 中

令n=1，得 ，即a2=2a1+3，①

令n=2，得 ，即a3=6a1+13，②

又2（a2+5）=a1+a3，③

則由①②③解得a1=1

（2）證明：當(dāng)n≥2時，由 ，

得到 ，

則 …．

由（1）得a2=5，則 ，

∴ 是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，

∴ ，

解得

（3）解：∵ ，則

則

=

∴Tn＜1

【解析】（1）令n=1，得a2=2a1+3，令n=2，得a3=6a1+13，再由2（a2+5）=a1+a3 ， 能求出a1的值．（2）當(dāng)n≥2時，推導(dǎo)出 ，從而 ，由此能證明 是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，從而能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)．（3）推導(dǎo)出 ，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明Tn＜1．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）的相關(guān)知識，掌握通項(xiàng)公式：．