Question

【題目】已知橢圓： 過點，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）斜率為的直線與橢圓交于，兩點，在軸上存在點滿足，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）5

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由橢圓的離心率為可得，由橢圓過點，故，解得，，從而可得橢圓的方程．（Ⅱ）由題意可得是線段的垂直平分線與軸交點，設(shè)直線的的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立消元后根據(jù)所得的二次方程可得弦的中點，由此可得線段的垂直平分線的方程，進(jìn)而得到點再求得及三角形的高后可得三角形的面積，根據(jù)基本不等式求得面積的最大值為5.

試題解析：

（Ⅰ）由題意得，

所以．①

因為點在橢圓上，

所以．②

由①②得，．

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）因為軸上存在點滿足，

所以是線段的垂直平分線與軸交點．

由題意設(shè)直線的的方程為，

由消去y整理得．

因為直線與橢圓交于兩點，

所以，

解得．

設(shè)，，的中點為.

則，.

所以，

故，

所以點．

故線段的垂直平分線的方程為，即.

令,得，即．

所以，即的高，

又

．

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．

驗證可得滿足．

所以面積的最大值為5．