Question

給出下列四個命題：
①命題p：?x∈R，sinx≤1，則￢p：?x∈R，sinx＜1；
②當(dāng)a≥1時，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集為非空；
③當(dāng)x＞1時，有1nx+

1

1nx

≥2；
④設(shè)有五個函數(shù)y=x-1，y=x

1

2

，y=x3，y=x2，y=2|x|，其中既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上是增函數(shù)的有2個．
其中真命題的序號是

③④

．

Answer 1

分析：根據(jù)全稱命題的否定方法，我們可以判斷①的真假；
根據(jù)絕對值的幾何意義，可得函數(shù)y=|x-4|+|x-3|的值域?yàn)閇1，+∞），可得②的真假；
當(dāng)x＞1時，lnx＞0，有基本不等式得③的真假；
根據(jù)冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性結(jié)合函數(shù)圖象的對折變換，可判斷④的真假．

解答：解：根據(jù)全稱命題的否定方法--“即要否定量詞，又要否定結(jié)論”，即命題p為：?x∈R，sinx≤1時，則￢p應(yīng)為：?x∈R，sinx＞1，故①錯誤；
∵函數(shù)y=|x-4|+|x-3|的值域?yàn)閇1，+∞），∴當(dāng)a＞1時，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集為非空，故②錯誤；
當(dāng)x＞1時，lnx＞0，由基本不等式得1nx+

1

1nx

≥2

1nx• 1 1nx

=2，故③正確；
函數(shù)y=x-1，y=x

1

2

，y=x3，y=x2，y=2|x|，其中既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上是增函數(shù)的有y=x²，y=2^|x|共2個，故④正確；
故答案為：③④

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，全稱命題的否定，絕對值不等式，基本不等式，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，其中熟練掌握相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)及不等式的解法是解答的關(guān)鍵．