Question

【題目】已知函數f（x）＝eax﹣x﹣1，且f（x）≥0.

（1）求a；

（2）在函數f（x）的圖象上取定兩點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），記直線AB的斜率為k，問：是否存在x0∈（x1，x2），使f'（x0）＝k成立？若存在，求出x0的值（用x1，x2表示）；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）a＝1（2）存在；

【解析】

（1）當時，判斷出不恒成立.當時，利用導數求得的最小值，根據這個最小值為非負數，構造函數并結合導數，求得的值.

（2）首先求得的表達式，構造函數，由，結合零點存在性定理，判斷出存在，并求得的值.

（1）若a≤0，則對一切x＞0，f（x）＝eax﹣x﹣1＜0，不符合題意，

若a＞0，f′（x）＝aeax﹣1，令f′（x）＝aeax﹣1＝0可得x，

當x時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，當x時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，

故當x時，函數取得最小值f（），

由題意可得，有0①，

令g（t）＝t﹣tlnt﹣1，則g′（t）＝﹣lnt，

當0＜t＜1時，g′（t）＞0，g（t）單調遞增，當t＞1時，g′（t）＜0，g（t）單調遞減，

故當t＝1時，g（t）取得最大值g（1）＝0，當且僅當1即a＝1時①成立，

綜上a＝1；

（2）由題意可知，k1，

令t（x）＝f′（x）﹣k＝ex，則可知y＝t（x）在[x1，x2]上單調遞增，

且t（x1）[（x2﹣x1）﹣1]，t（x2）[e（x1﹣x2）﹣1]，

由（1）可知f（x）＝ex﹣x﹣1≥0，x＝0時取等號，

∴（x2﹣x1）﹣1≥0，e（x1﹣x2）﹣1≥0，

∴t（x1）＜0，t（x2）＞0，

由零點判定定理可得，存在x0∈（x1，x2），使得t（x0）＝0且由解得，

綜上可得，存在x0∈（x1，x2），使f'（x0）＝k成立