Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在處取得極值，對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ①當(dāng)時，的遞減區(qū)間是，無遞增區(qū)間；②當(dāng)時，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.

(2) .

【解析】分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）由函數(shù)在處取得極值，可得，，等價于

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得以，從而得.

詳解：（1）在區(qū)間上，

①若，則，是區(qū)間上的減函數(shù)；

②若，令得

在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)；

在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；

綜上所述，①當(dāng)時，的遞減區(qū)間是，無遞增區(qū)間；

②當(dāng)時，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.

（2）因為函數(shù)在處取得極值，

所以

解得，經(jīng)檢驗滿足題意.

由已知，則

令，則

易得在上遞減，在上遞增，

所以，即.