【題目】(本題滿分15分)已知橢圓
：
過點
，離心率為
.
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)
分別為橢圓的左、右焦點，過
的直線
與橢圓交于不同兩點
，記
的內(nèi)切圓的面積為
，求當(dāng)取最大值時直線的方程，并求出最大值．
【答案】（Ⅰ）橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程為
；（Ⅱ）
.
【解析】
試題分析：（Ⅰ）由題意得
，解這個方程組即可得
，從而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ）設(shè)
，
的內(nèi)切圓半徑為
，則
，所以要使
取最大值，只需
最大. 
. 設(shè)直線
的方程為 
，將代入
可得
，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得
，記
，則
，顯然這個函數(shù)在
上遞減，當(dāng)
即
時三角形的面積最大，由此可得.
試題解析：（ 解得
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（Ⅱ）設(shè)，的內(nèi)切圓半徑為，則
所以要使取最大值，只需最大
設(shè)直線的方程為
將代入可得(*)
恒成立，方程(*)恒有解，
記
在上遞減，
所以當(dāng)即時，
，此時.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某市為了解各校《國學(xué)》課程的教學(xué)效果，組織全市各學(xué)校高二年級全體學(xué)生參加了國學(xué)知識水平測試，測試成績從高到低依次分為A、B、C、D四個等級．隨機調(diào)閱了甲、乙兩所學(xué)校各60名學(xué)生的成績，得到如下的分布圖：
（Ⅰ）試確定圖中
與
的值；
（Ⅱ）若將等級A、B、C、D依次按照
分、80分、60分、50分轉(zhuǎn)換成分數(shù)，試分別估計兩校學(xué)生國學(xué)成績的均值；
（Ⅲ）從兩校獲得A等級的同學(xué)中按比例抽取5人參加集訓(xùn)，集訓(xùn)后由于成績相當(dāng)，決定從中隨機選2人代表本市參加省級比賽，求兩人來自同一學(xué)校的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】（1）若直角三角形兩直角邊長之和為12，求其周長
的最小值；
（2）若三角形有一個內(nèi)角為
，周長為定值，求面積
的最大值；
（3）為了研究邊長
滿足
的三角形其面積是否存在最大值，現(xiàn)有解法如下：
（其中
， 三角形面積的海倫公式），
∴
，
而
，
，
，則
，
但是，其中等號成立的條件是
，于是
與
矛盾，
所以，此三角形的面積不存在最大值．
以上解答是否正確？若不正確，請你給出正確的答案．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】根據(jù)某電子商務(wù)平臺的調(diào)查統(tǒng)計顯示，參與調(diào)查的1000位上網(wǎng)購物者的年齡情況如圖．
（1）已知
、
，
三個年齡段的上網(wǎng)購物者人數(shù)成等差數(shù)列，求
，
的值；
（2）該電子商務(wù)平臺將年齡在
之間的人群定義為高消費人群，其他的年齡段定義為潛在消費人群，為了鼓勵潛在消費人群的消費，該平臺決定發(fā)放代金券，高消費人群每人發(fā)放50元的代金券，潛在消費人群每人發(fā)放80元的代金券，已經(jīng)采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的1000位上網(wǎng)購物者中抽取了10人，現(xiàn)在要在這10人中隨機抽取3人進行回訪，求此三人獲得代金券總和
的分布列與數(shù)學(xué)期望．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某企業(yè)實行裁員增效，已知現(xiàn)有員工
人，每人每年可創(chuàng)純收益（已扣工資等）1萬元，據(jù)評估，在生產(chǎn)條件不變的情況下，每裁員一人，則留崗員工每人每年可多創(chuàng)收0．01萬元，但每年需付給下崗工人每位0.4萬元的生活費，并且企業(yè)正常運轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得少于現(xiàn)有員工的
，設(shè)該企業(yè)裁員
人后，年純收益為
萬元．
（1）寫出
關(guān)于
的函數(shù)關(guān)系式，并指出
的取值范圍；
（2）當(dāng)
時，該企業(yè)應(yīng)裁員多少人，才能獲得最大的經(jīng)濟效益（注：在保證能取得最大的經(jīng)濟效益的情況下，能少裁員，應(yīng)盡量少裁員）？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】根據(jù)某電子商務(wù)平臺的調(diào)查統(tǒng)計顯示，參與調(diào)查的
位上網(wǎng)購物者的年齡情況如右圖．
（1）已知
、
、
三個年齡段的上網(wǎng)購物者人數(shù)成等差數(shù)列，求
的值；
（2）該電子商務(wù)平臺將年齡在
之間的人群定義為高消費人群，其他的年齡段定義為潛在消費人群，為了鼓勵潛在消費人群的消費，該平臺決定發(fā)放代金券，高消費人群每人發(fā)放
元的代金券，潛在消費人群每人發(fā)放
元的代金券．已經(jīng)采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的位上網(wǎng)購物者中抽取了
人，現(xiàn)在要在這人中隨機抽取
人進行回訪，求此三人獲得代金券總和
的分布列與數(shù)學(xué)期望．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知等比數(shù)列
滿足
，數(shù)列
滿足
.
(1)求數(shù)列
， 
的通項公式；
(2)令
，求數(shù)列
的前
項和
；
(3)若
，求對所有的正整數(shù)
都有
成立的
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知向量 
， 
,函數(shù)
的圖象過點
，點
與其相鄰的最高點的距離為
.
（1）求
的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）計算
；
（3）設(shè)函數(shù)
，試討論函數(shù)
在區(qū)間
上的零點個數(shù).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某班50名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組
，第二組
，…，第五組
，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這50名學(xué)生百米測試成績的平均值；
（2）若從第一組、第五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1的概率．
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