Question

【題目】已知 ， ．
（1）當n=1，2，3時，分別比較f（n）與g（n）的大小（直接給出結論）；
（2）由（1）猜想f（n）與g（n）的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，f（1）=1， ，f（1）＞g（1），

當n=2時， ， ，f（2）＞g（2），

當n=3時， ，g（3）=2，f（3）＞g（3）

（2）解：猜想：f（n）＞g（n）（n∈N*），即 ．

下面用數學歸納法證明：①當n=1時，上面已證．

②假設當n=k時，猜想成立，即

則當n=k+1時， = ；

而 ，下面轉化為證明：

只要證： ，需證：（2k+3）2＞4（k+2）（k+1），

即證：4k2+12k+9＞4k2+12k+8，此式顯然成立．所以，當n=k+1時猜想也成立．

綜上可知：對n∈N*，猜想都成立，

即 成立

【解析】（1）先令n=1，2，3．分別求得f（n）和g（n），再通過計算比較它們的大小即可；（2）通過前3項進行歸納猜想，用數學歸納法證明．檢驗n取第一個值時，等式成立，假設n=k時成立，證明當n=k+1時也成立，即可得到猜想成立．