Question

【題目】已知函數(shù).（）

（1）若在區(qū)間上單調遞減，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)在上單調遞減轉化為在上恒成立問題，再通過不等式恒成立條件求解即可

（2）令，根據(jù)在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方轉化成在區(qū)間上恒成立，求得，分別對和進行分類討論，結合正負判斷單調性，再結合恒成立問題進一步求解即可

解：（1）在區(qū)間上單調遞減，

則在區(qū)間上恒成立．

即，而當時，，故．

所以．

（2）令，定義域為.

在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立.

∵

①若，令，得極值點，，

當，即時，在（，+∞)上有，此時在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有，不合題意；

當，即時，同理可知，在區(qū)間上，

有，也不合題意；

②若，則有，此時在區(qū)間上恒有，從而在區(qū)間上是減函數(shù)；

要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，

由此求得的范圍是

綜合①②可知，當時，函數(shù)的圖象恒在直線下方.