Question

【題目】設動圓經過點，且與圓為圓心）相內切．

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程；

（Ⅱ）設經過的直線與軌跡交于、兩點，且滿足的點也在軌跡上，求四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）因為圓的圓心，半徑為，由圓與圓相內切，利用橢圓的定義可知,動圓圓心的軌跡是以，為焦點且長軸長為的橢圓即可求解；

（Ⅱ）設直線的方程為，一定存在），代入，并整理得，利用韋達定理、向量的坐標運算,結合已知條件即可求解.

（Ⅰ）由已知可得,圓的圓心，半徑為，

由圓與圓相內切，得，

由橢圓定義可知，動圓圓心的軌跡是以，為焦點

且長軸長為的橢圓，其方程為．

（Ⅱ）設直線的方程為，一定存在），

代入，并整理得，

所以判別式△恒成立，

設，，，，

由韋達定理可得,,,

設，,則

由，得，

即，即，

又點在軌跡上，故，

即，解得，（舍負），

因為,所以四邊形為平行四邊形,

所以平行四邊形的面積為

,

即,因為，

所以四邊形的面積為．