【題目】設橢圓
的離心率為
，圓
與
軸正半軸交于點
，圓
在點處的切線被橢圓
截得的弦長為
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設圓上任意一點
處的切線交橢圓于點
，
，試判斷
是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由．
【答案】（1）
；（2）是定值，
【解析】
（1）由
，可得
，故設橢圓方程為
，可得點
在橢圓上，即可求出參數的值，從而得到橢圓方程；
（2）當過點
且與圓
相切的切線斜率不存在時，不妨設切線方程為
，
可得
．當過點且與圓相切的切線斜率存在時，可設切線的方程為
，
，
，由圓心到直線的距離等于半徑可得
，聯立直線與橢圓方程，消去
，列出韋達定理，即可表示出
，代入計算可得
，即可得到，最后由三角形相似計算出
的值即可；
解：（1）由橢圓的離心率為，
，
，
橢圓
的方程可設為，
易求得
，且圓在點
處的切線方程為，點在橢圓上，
，解得
，橢圓的方程為．
（2）當過點且與圓相切的切線斜率不存在時，不妨設切線方程為，
由（1）知，
，
，
，
．
當過點且與圓相切的切線斜率存在時，可設切線的方程為，，，
，即．
聯立直線和橢圓的方程得:
，
，
，
．
，
．綜上所述，圓上任意一點處的切線交橢圓于點
，
，都有．
在
中，由
得，
為定值．
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線Γ：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，P是拋物線Γ上一點，且在第一象限，滿足
（2，2
）
（1）求拋物線Γ的方程；
（2）已知經過點A（3，﹣2）的直線交拋物線Γ于M，N兩點，經過定點B（3，﹣6）和M的直線與拋物線Γ交于另一點L，問直線NL是否恒過定點，如果過定點，求出該定點，否則說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關，對該班40名學生進行了問卷調查，得到了如下的
列聯表：
男生 | 女生 | 總計 | |
喜愛打籃球 | 19 | 15 | 34 |
不喜愛打籃球 | 1 | 5 | 6 |
總計 | 20 | 20 | 40 |
（1）在女生不喜愛打籃球的5個個體中，隨機抽取2人，求女生甲被選中的概率；
（2）判斷能否在犯錯誤的概率不超過
的條件下認為喜愛籃球與性別有關？
附：
，其中
．
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | <>0.005 | 0.001 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定點
，
，直線
、
相交于點
，且它們的斜率之積為
，記動點的軌跡為曲線
。
（1）求曲線的方程；
（2）過點
的直線與曲線交于
、
兩點，是否存在定點
，使得直線
與
斜率之積為定值，若存在，求出
坐標；若不存在，請說明理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，過點
的動圓恒與
軸相切，
為該圓的直徑，設點
的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）過點
的任意直線
與曲線交于點
，
為
的中點，過點作
軸的平行線交曲線于點
，關于點的對稱點為
，除以外，直線
與是否有其它公共點？說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設動圓
經過點
，且與圓
為圓心）相內切．
（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡
的方程；
（Ⅱ）設經過
的直線與軌跡交于
、
兩點，且滿足
的點
也在軌跡上，求四邊形
的面積．
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