Question

【題目】如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝AD＝1，CD＝2，若將△BCD沿著BD折起至△BC'D，使得AD⊥BC'．

（1）求證：平面C'BD⊥平面ABD；

（2）求C'D與平面ABC'所成角的正弦值；

（3）M為BD中點(diǎn)，求二面角M﹣AC'﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）；（3）．

【解析】

（1）先證明、，再利用面面垂直的判定即可得證；

（2）先證明面，再求即可得解；

（3）建立空間坐標(biāo)系，分別求出兩面的法向量即可得解.

（1）過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，得，，∴，

又，∴，∴，∴，

又，且，平面，

∴平面，又平面，∴平面⊥平面；

（2）由（1）平面，可知：平面⊥平面，

又，平面平面，

∴面，∴與平面所成角為，

由（1）平面可知：，∴，∴，

∴，即與平面所成角的正弦值為；

（3）以為原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（1）可知，

，，，，

又為的中點(diǎn)，∴，

∴，，，

∴平面的一個(gè)法向量，

平面的一個(gè)法向量，

∴，

由圖可知二面角的大小為銳角，

∴二面角的余弦值為．