Question

【題目】觀察以下等式：

13＝12

13+23＝（1+2）2

13+23+33＝（1+2+3）2

13+23+33+43＝（1+2+3+4）2

（1）請用含n的等式歸納猜想出一般性結論，并用數學歸納法加以證明．

（2）設數列{an}的前n項和為Sn，且an＝n3+n，求S10．

Answer 1

【答案】（1）猜想13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；證明見解析（2）3080

【解析】

（1）根據式子猜想出一般性結論，然后當時，證明成立，假設時，式子也成立，然后對時的式子進行化簡，從而證明結論成立；（2）對進行分組求和，然后根據（1）中所得到的求和公式，進行求和計算，得到答案.

（1）猜想13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；

證明：當n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，等式成立；

假設n＝k時，13+23+33+…+k3＝（1+2+3+…+k）2，

當n＝k+1時，13+23+33+…+k3+（k+1）3＝（1+2+3+…+k）2+（k+1）3

，

可得n＝k+1時，猜想也成立，

綜上可得對任意的正整數n，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；

（2）數列{an}的前n項和為Sn，且an＝n3+n，

S10＝（13+23+…+103）+（1+2+3+…+10）＝（1+2+…+10）2

＝552+55＝3080．