Question

已知函數，，其中m∈R．
（1）若0<m≤2，試判斷函數f (x)=f₁ (x)+f₂ (x)的單調性，并證明你的結論；
（2）設函數 若對任意大于等于2的實數x₁，總存在唯一的小于2的實數x₂，使得g (x₁) =" g" (x₂) 成立，試確定實數m的取值范圍．

Answer 1

（1）單調減函數，（2）（0，4）.

試題分析：（1）兩個函數獨立，可分別論證函數在上單調遞減，再得函數f(x)為單調減函數．因為，所以當0<m≤2，x≥2時，，從而函數f(x)為單調減函數．（2）結合圖形分析，可知討論點為當 m≤0時，，所以g (x1) =" g" (x2)不成立．當0＜m＜2時，，，，，所以g (x1) =" g" (x2)恒成立．當2≤m＜4時，，，，所以g (x1) =" g" (x2)恒成立．當m≥4時，不成立.
解：（1）f (x)為單調減函數．
證明：由0<m≤2，x≥2，可得
==．
由 ，
且0<m≤2，x≥2，所以．從而函數f(x)為單調減函數．  
（亦可先分別用定義法或導數法論證函數在上單調遞減，再得函數f(x)為單調減函數．）
（2）①若m≤0，由x1≥2，，
x2＜2，，
所以g (x1) =" g" (x2)不成立．                  
②若m＞０，由x＞2時，，
所以g(x)在單調遞減．從而，即．
（a）若m≥2，由于x＜２時，，
所以g(x)在(－∞,2)上單調遞增，從而，即．
要使g (x1) =" g" (x2)成立，只需，即成立即可．
由于函數在的單調遞增，且h(4)=0，
所以2≤m＜4．                           
（b）若0＜m＜2，由于x＜2時，
所以g(x)在上單調遞增，在上單調遞減．
從而，即．
要使g (x1) =" g" (x2)成立，只需成立，即成立即可．
由0＜m＜2，得 ．
故當0＜m＜2時，恒成立．      
綜上所述，m為區間（0，4）上任意實數．