Question

如圖，四邊形ABCD為圓內接四邊形，AC為BD的垂直平分線，∠ACB=60°，AB=a，則CD=（　　）

• A．

  3

  3

  a
• B．

  3

  2

  a
• C．

  1

  2

  a
• D．

  1

  3

  a

Answer 1

分析：根據AC為BD的垂直平分線，結合圓的對稱性可知，△ABD是邊長為a的正三角形，且AC是圓的直徑．再設AC與BD交于E點，圓的半徑為R，利用a的值表示出線段DE、CE等的長度，最后在直角三角形CDE中，即可求出CD．

解答：解：∵AC為BD的垂直平分線，
根據圓的對稱性可知，△ABD是邊長為a的正三角形，且AC是圓的直徑．
設AC與BD交于E點，圓的半徑為R，則AE=

3

2

a，DE=

1

2

a，
AC=2R=

a

sin60°

=

2 3

3

a，∴CE=AC-AE=

3

3

a，
在直角三角形CDE中，CD=

DE2+CE2

=

( 1 2 a)2+( 3 6 a)2

=

3

3

a．
故選A．

點評：本題主要考查了與圓有關的線段，考查了解三角形及正弦定理等基本知識，屬于基礎題．