Question

曲線C₁，C₂都是以原點O為對稱中心、離心率相等的橢圓．點M的坐標是（0，1），線段MN是C₁的短軸，是C₂的長軸．直線l：y=m（0＜m＜1）與C₁交于A，D兩點（A在D的左側），與C₂交于B，C兩點（B在C的左側）．
（Ⅰ）當m=，時，求橢圓C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）若OB∥AN，求離心率e的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）可設C₁的方程為，C₂的方程為，其中a＞1，0＜b＜1，由C₁，C₂的離心率相同，可建立關于a，b的方程，結合，可求a，b進而可求橢圓C₁，C₂的方程
（Ⅱ）由OB∥AN，可得k_OB=k_AN，從而可得m，a的關系，代入可由離心率表示a，進而可由離心率e表示m，結合m的范圍可求e的范圍
解答：解：（Ⅰ）設C₁的方程為，C₂的方程為，其中a＞1，0＜b＜1…（2分）
∵C₁，C₂的離心率相同，所以，
所以ab=1，…．…（3分）
∴C₂的方程為a²x²+y²=1．
當m=時，A，C…．（5分）
又∵，所以，，解得a=2或a=（舍），…．…..（6分）
∴C₁，C₂的方程分別為，4x²+y²=1．…．（7分）
（Ⅱ）A（-，m），B（-，m）． …（9分）
∵OB∥AN，∴k_OB=k_AN，
∴，
∴． …．（11分）
，
∴，
∴． …（12分）
∵0＜m＜1，
∴，
∴…（13分）
點評：本題主要考查了由橢圓的性質求解橢圓方程，及橢圓性質的綜合應用，解答本題要求考生具備綜合運用知識的能力