Question

曲線C₁，C₂都是以原點O為對稱中心、離心率相等的橢圓．點M的坐標是（0，1），線段MN是C₁的短軸，是C₂的長軸．直線l：y=m（0＜m＜1）與C₁交于A，D兩點（A在D的左側），與C₂交于B，C兩點（B在C的左側）．
（Ⅰ）當m=

3

2

，|AC|=

5

4

時，求橢圓C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）若OB∥AN，求離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可設C₁的方程為

x2

a2

+y2=1，C₂的方程為

x2

b2

+y2=1，其中a＞1，0＜b＜1，由C₁，C₂的離心率相同，可建立關于a，b的方程，結合|AC|=

5

4

，可求a，b進而可求橢圓C₁，C₂的方程
（Ⅱ）由OB∥AN，可得k_OB=k_AN，從而可得m，a的關系，代入可由離心率表示a，進而可由離心率e表示m，結合m的范圍可求e的范圍

解答：解：（Ⅰ）設C₁的方程為

x2

a2

+y2=1，C₂的方程為

x2

b2

+y2=1，其中a＞1，0＜b＜1…（2分）
∵C₁，C₂的離心率相同，所以

a2-1

a2

=1-b2，
所以ab=1，…．…（3分）
∴C₂的方程為a²x²+y²=1．
當m=

3

2

時，A(-

a

2

，

3

2

)，C(

1

2a

，

3

2

)…．（5分）
又∵|AC|=

5

4

，所以，

1

2a

+

a

2

=

5

4

，解得a=2或a=

1

2

（舍），…．…..（6分）
∴C₁，C₂的方程分別為

x2

4

+y2=1，4x²+y²=1．…．（7分）
（Ⅱ）A（-a

1-m2

，m），B（-

1

a

1-m2

，m）． …（9分）
∵OB∥AN，∴k_OB=k_AN，
∴

m

- 1 a 1-m2

=

m+1

-a 1-m2

，
∴m=

1

a2-1

． …．（11分）
e2=

a2-1

a2

，
∴a2=

1

1-e2

，
∴m=

1-e2

e2

． …（12分）
∵0＜m＜1，
∴0＜

1-e2

e2

＜1，
∴

2

2

＜e＜1…（13分）

點評：本題主要考查了由橢圓的性質求解橢圓方程，及橢圓性質的綜合應用，解答本題要求考生具備綜合運用知識的能力