Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，是的中點．

（1）證明；

（2）若，

（i）求直線與平面所成角的正弦值；

（ii）設平面與側棱交于，求.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（i）；（ii）

【解析】

（1）證明，即可證面，從而得到結論；

（2）（i）以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，求出相關點和向量的坐標，列方程求出面的法向量為，最后利用公式即可得到結果；（ii）根據（i）的結論，設，則，由此計算得到，又，求出，從而得到結果.

（1）因為面，平面，所以，

因為，，所以面，因為平面，所以；

（2）（i）以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系：

則，，，，

所以，，.

設面的法向量為，則，所以，

設直線與面所成角為，，

故直線與平面所成角的正弦值為；

（ii），，設，，

，，

所以，則，

又，所以，所以.