Question

【題目】已知三棱錐A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點，D為PB的中點，且△PMB為正三角形．

（1）求證：BC⊥平面APC；
（2）若BC=3，AB=10，求三棱錐B﹣MDC的體積VB﹣MDC ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△PMB為正三角形，

且D為PB的中點，∴MD⊥PB．

又∵M為AB的中點，D為PB的中點，

∴MD∥AP，∴AP⊥PB．

又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，

∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩AP=A，

∴BC⊥平面APC

（2）解：有VM﹣BCD=VB﹣MDC．

∵AB=10，∴MB=PB=5，

又BC=3，BC⊥PC，∴PC=4，

∴ ．

又 ，∴ ．

【解析】（1）運用等邊三角形的性質和中位線定理，證得AP⊥平面PBC，再由線面垂直的性質得，AP⊥BC，結合條件AC⊥BC，即可得證；（2）運用VM﹣BCD=VB﹣MDC ． 由棱錐的體積公式，計算三角形BCD的面積和MD，即可得到．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．