Question

【題目】已知，函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，證明是奇函數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）增區(qū)間為， ，減區(qū)間為（3）當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，

【解析】試題分析：（1）時(shí)， ，定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，而，故是奇函數(shù).（2）時(shí)， ，不同范圍上的函數(shù)解析式都是二次形式且有相同的對(duì)稱(chēng)軸，因，故函數(shù)的增區(qū)間為， ，減區(qū)間為.（3）根據(jù)（2）的單調(diào)性可知，比較的大小即可得到.

解析：（1）若，則，其定義域是一切實(shí)數(shù).且有，所以是奇函數(shù).

（2）函數(shù)，因?yàn)?/span>，則函數(shù)在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增 ，函數(shù)在區(qū)間遞增.∴綜上可知，函數(shù)的增區(qū)間為， ，減區(qū)間為.

（3）由得. 又函數(shù)在遞增，在遞減， 且， .

若，即時(shí)， ；

若，即時(shí)， .

∴綜上，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .