Question

設函數fn(x)=-2n+

2

x

+

22

x2

+…+

2n

xn

．
（1）求函數f₂（x）在

1，2

上的值域；
（2）證明對于每一個n∈N^*，在

1，2

上存在唯一的x_n，使得f_n（x_n）=0；
（3）求f₁（a）+f₂（a）+…+f_n（a）的值．

Answer 1

（1）f2(x)=-4+

2

x

+

4

x2

，
由x∈

1，2

，令t=

1

x

∈

1 2 ，1

，則y=4t²+2t-4．
對稱軸t=-

1

4

，∴y=4t²+2t-4在

1 2 ，1

上單調遞增，∴f₂（x）在

1，2

上的值域為

-2．2

．…（4分）
（2）證明：∵對于1≤x₁＜x₂≤2，m∈N^*有1≤

x

m1

＜

x

m2

，

1

x m2

＜

1

x m1

，從而

2m

x m2

＜

2m

x m1

，∴y=

2m

xm

，m∈N^*，在x∈

1，2

上單調遞減，
∴fn(x)=-2n+

2

x

+

22

x2

+…+

2n

xn

，在x∈

1，2

上單調遞減．
又fn(1)=-2n+2+22+…+2n=2n-2≥0，fn(2)=-2n+n．…（7分）
當n≥2時，fn(2)=-2n+n=-(1+1)n+n=-

C

0n

-

C

1n

-

C

2n

-…-

C

nn

+n＜0，
又f₁（2）=-2+1=-1＜0，即對于任意自然數n有fn(2)=-2n+n＜0，
∴對于每一個n∈N^*，存在唯一的xn∈

1，2

，使得f_n（x_n）=0…（11分）
（3）fm(a)=-2m+

2

a

+

22

a2

+…+

2m

am

．
當a=2時，fm(a)=-2m+m，∴f1(a)+f2(a)+…+fn(a)=-2n+1+

n(n+1)

2

+2．…（14分）
當a≠2且a≠0時，fm(a)=-2m+

2

a

+

22

a2

+…+

2m

am

=-2m+

2 a [1-( 2 a )m]

1- 2 a

．
∴f1(a)+f2(a)+…+fn(a)=-2n+1+2+

2n

a-2

-

4

(a-2)2

+

2n+2

(a-2)2an

…（18分）