Question

若圓C過點M（0，1）且與直線l：y=-1相切，設圓心C的軌跡為曲線E，A、B為曲線E上的兩點，點P(0，t)(t＞0)，且滿足

AP

=λ

PB

(λ＞1)．
（I）求曲線E的方程；
（II）若t=6，直線AB的斜率為

1

2

，過A、B兩點的圓N與拋物線在點A處共同的切線，求圓N的方程；
（III）分別過A、B作曲線E的切線，兩條切線交于點Q，若點Q恰好在直線l上，求證：t與

QA

•

QB

均為定值．

Answer 1

分析：（1）由點C到定點M的距離等于到定直線l的距離與拋物線的定義可得點C的軌跡為拋物線所以曲線E的方程為x²=4y．
（2）由題得直線AB的方程是x-2y+12=0聯立拋物線的方程解得A（6，9）和B（-4，4），進而直線NA的方程為y=-

1

3

x+11，由A，B兩點的坐標得到線段AB中垂線方程為y=-2x+

17

2

，可求N點的坐標，進而求出圓N的方程(x+

3

2

)2+(y-

23

2

)2=

125

2

．
（3）設A，B兩點的坐標，由題意得過點A的切線方程為y=-2x+

17

2

又Q（a，-1），可得x₁²-2ax₁-4=0同理得x₂²-2ax₂-4=0所以x₁+x₂=2a，x₁x₂=-4．所以直線AB的方程為
y=

a

2

x+1所以t=-1．根據向量的運算得

QA

•

QB

= x1x2-a(x1+x2)+a2+

x 1 2 x 2 2

16

+

(x1+x2)2-2x1x2

4

+1=0．

解答：【解】（Ⅰ）依題意，點C到定點M的距離等于到定直線l的距離，所以點C的軌跡為拋物線，曲線E的方程為x²=4y．
（Ⅱ）直線AB的方程是y=

1

2

x+6，即x-2y+12=0．
由{_x2=4y，x-2y+12=0，及

AP

=λ

PB

(λ＞1)知|

AP

|＞|

PB

|，得A（6，9）和B（-4，4）
由x²=4y得y=

1

4

x2，y′=

1

2

x．
所以拋物線x²=4y在點A處切線的斜率為y'|_x=6=3．
直線NA的方程為y-9=-

1

3

(x-6)，即y=-

1

3

x+11．①
線段AB的中點坐標為(1，

13

2

)，線段AB中垂線方程為y-

13

2

=-2(x-1)，即y=-2x+

17

2

．②
由①、②解得N(-

3

2

，

23

2

)．
于是，圓C的方程為(x+

3

2

)2+(y-

23

2

)2=(-4+

3

2

)2+(4-

23

2

)2，
即(x+

3

2

)2+(y-

23

2

)2=

125

2

．
（Ⅲ）設A(x1，

x12

4

)，B(x2，

x22

4

)，Q（a，-1）．過點A的切線方程為y-

x 2 1

4

=

x1

2

(x-x1)，
即x₁²-2ax₁-4=0．同理可得x₂²-2ax₂-4=0，所以x₁+x₂=2a，x₁x₂=-4．
又kAB=

x12 4 - x22 4

x1-x2

=

x1+x2

4

，所以直線AB的方程為y-

x12

4

=

x1+x2

4

(x-x 1)，
即y=

x1+x2

4

x-

x1x2

4

，亦即y=

a

2

x+1，所以t=-1．
而

QA

=(x1-a，

x12

4

+1)，

QB

=(x2-a，

x22

4

+1)，
所以

QA

•

QB

=(x1-a)(x2-a)+(

x 2 1

4

+1)(

x 2 2

4

+1)
=x1x2-a(x1+x2)+a2+

x 2 1 x 2 2

16

+

(x1+x2)2-2x1x2

4

+1
=-4-2a2+a2+1+

4a2+8

4

+1=0．

點評：本題主要考查拋物線的定義和直線與曲線的相切問題，解決此類問題的必須熟悉曲線的定義和曲線的圖形特征，這也是高考常考的知識點．