Question

若圓C過點M（0，1）且與直線l：y=-1相切，設圓心C的軌跡為曲線E，A、B為曲線E上的兩點，點．
（I）求曲線E的方程；
（II）若t=6，直線AB的斜率為，過A、B兩點的圓N與拋物線在點A處共同的切線，求圓N的方程；
（III）分別過A、B作曲線E的切線，兩條切線交于點Q，若點Q恰好在直線l上，求證：t與均為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點C到定點M的距離等于到定直線l的距離與拋物線的定義可得點C的軌跡為拋物線所以曲線E的方程為x²=4y．
（2）由題得直線AB的方程是x-2y+12=0聯立拋物線的方程解得A（6，9）和B（-4，4），進而直線NA的方程為，由A，B兩點的坐標得到線段AB中垂線方程為，可求N點的坐標，進而求出圓N的方程．
（3）設A，B兩點的坐標，由題意得過點A的切線方程為又Q（a，-1），可得x₁²-2ax₁-4=0同理得x₂²-2ax₂-4=0所以x₁+x₂=2a，x₁x₂=-4．所以直線AB的方程為
所以t=-1．根據向量的運算得=0．
解答：【解】（Ⅰ）依題意，點C到定點M的距離等于到定直線l的距離，所以點C的軌跡為拋物線，曲線E的方程為x²=4y．
（Ⅱ）直線AB的方程是，即x-2y+12=0．
由及知，得A（6，9）和B（-4，4）
由x²=4y得，．
所以拋物線x²=4y在點A處切線的斜率為y'|_x=6=3．
直線NA的方程為，即．①
線段AB的中點坐標為，線段AB中垂線方程為，即．②
由①、②解得．
于是，圓C的方程為，
即．
（Ⅲ）設，，Q（a，-1）．過點A的切線方程為，
即x₁²-2ax₁-4=0．同理可得x₂²-2ax₂-4=0，所以x₁+x₂=2a，x₁x₂=-4．
又=，所以直線AB的方程為，
即，亦即，所以t=-1．
而，，
所以
=
=．
點評：本題主要考查拋物線的定義和直線與曲線的相切問題，解決此類問題的必須熟悉曲線的定義和曲線的圖形特征，這也是高考常考的知識點．