Question

（2011•豐臺區二模）已知平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是線段AD的中點．沿BD將△BCD翻折到△BC'D，使得平面BC'D⊥平面ABD．
（Ⅰ）求證：C'D⊥平面ABD；
（Ⅱ）求直線BD與平面BEC'所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D-BE-C'的余弦值．
本題重點考查的是翻折問題．在翻折的過程中，哪些是不變的，哪些是改變的學生必須非常清楚．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意可得翻折成△BC'D以后線段的長度不發生變化，所以可得CD=6，BC’=BC=10，BD=8，即BC'²=C'D²+BD²，所以C'D⊥BD，再結合面面垂直的性質定理可得線面垂直．
（II）根據題意建立空間直角坐標系，求出直線所在的向量與平面的法向量，再利用向量的有關知識求出兩個向量的夾角，進而轉化為線面角．
（III）根據建立的坐標系分別求出兩個平面的法向量，再求出兩個向量的夾角，進而轉化為二面角的平面角得到答案．

解答：解：（Ⅰ）證明：平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，
沿直線BD將△BCD翻折成△BC'D
可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，
即BC'²=C'D²+BD²，
故C'D⊥BD．                                                        …（2分）
∵平面BC'D⊥平面ABD，平面BC'D∩平面ABD=BD，C'D?平面BC'D，
∴C'D⊥平面ABD．                                                   …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C'D⊥平面ABD，且CD⊥BD，

如圖，以D為原點，建立空間直角坐標系D-xyz．                       …（6分）
則D（0，0，0），A（8，6，0），B（8，0，0），C'（0，0，6）．
∵E是線段AD的中點，
∴E（4，3，0），

BD

=(-8，0，0)．
在平面BEC'中，

BE

=(-4，3，0)，

BC′

=(-8，0，6)，
設平面BEC'法向量為

n

=(x，y，z)，
∴

BE • n =0 BC′ • n =0

，即

-4x+3y=0 -8x+6z=0

，
令x=3，得y=4，z=4，故

n

=(3，4，4)．                                …（8分）
設直線BD與平面BEC'所成角為θ，則sinθ=|cos＜

n

，

BD

＞|=

| n • BD |

| n |•| BD |

=

3 41

41

．                               …（9分）
∴直線BD與平面BEC'所成角的正弦值為

3 41

41

．                      …（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BEC'的法向量為

n

=(3，4，4)，
而平面DBE的法向量為

DC′

=(0，0，6)，
∴cos＜

n

，

C′D

＞=

n • C′D

| n |•| C′D |

=

4 41

41

，
因為二面角D-BE-C'為銳角，
所以二面角D-BE-C'的余弦值為

4 41

41

．                              …（13分）

點評：本題重點考查線面垂直、線面角與二面角的平面角，以及翻折問題，學生必須要掌握在翻折的過程中，哪些是不變的，哪些是改變，這也是解決此類問題的關鍵．