Question

若,,為同一平面內互不共線的三個單位向量，并滿足＋＋＝，且向量＝x＋＋（x＋） （x∈R，x≠0，n∈N＋）．

（1）求與所成角的大小；

（2）記f（x）＝||，試求f（x）的單調區間及最小值．

 

Answer 1

（1）；

（2）的減區間為 和；再由均值不等式易求得： 時，．

【解析】

試題分析：（1）與所成角的大小，首先求出向量與的數量積，由已知＋＋＝，可得＋＝－，兩邊平方可得與的數量積，再利用函數的數量積求出向量的夾角．（2）求的單調區間及最小值，首先把向量的模長轉化為求向量的數量積，得函數的解析式，進一步利用導數求出單調區間，最后確定最值．

試題解析：（1）依題設：||＝||＝||＝1，且＋＝－⇒ （＋）2＝（－）2,化簡得：

·＝－ ⇒ cos<,>＝－，又<,>∈[0, π] ⇒ <,>＝．

（2）由 （1）易知：·＝·＝·＝－，故由f（x）＝||＝，將其展開整理得： f（x）＝ （x∈R，x≠0，n∈N＋）．

①x＞0時，對u（x）＝x2＋（）2－n，求導并整理得：（x）＝．則由（x）＞0⇒x＞，且由（x）＜0⇒0＜x＜．即f（x）的增區間為（, ＋∞），減區間為（0, ）．

②x＜0時，因f（x）為偶函數，由圖像的對稱性知：f（x）的增區間為（－,0），減區間為（－∞,－）．

綜上：f（x）的增區間為 （－，0） 與 （, ＋∞），f（x）的減區間為（－∞, －） 和 （0, ）．

再由均值不等式易求得：|x|＝時， f（x）min＝．

考點：向量的數量積，向量的夾角，向量的模，均值不等式，利用導數求函數的單調區間和最值．