Question

已知向量

a

=(cosx，4sinx-2)，

b

=(8sinx，2sinx+1)，x∈R，設函數f(x)=

a

•

b

（1）求函數f（x）的最大值；
（2）在△ABC中，A為銳角，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面積為3，b+c=2+3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數量積公式，兩角和的正弦公式化簡函數f（x）=

a

•

b

 的解析式為 4

2

sin（2x-

π

4

）+2，由此可得函數f（x）的最大值．
（2）由A為銳角，f（A）=6，求得sin（2A-

π

4

）=

2

2

，A=

π

4

．再根據△ABC的面積為3求得bc的值．再根據 b+c=2+3

2

，利用余弦定理求得a的值．

解答：解：（1）∵函數f（x）=

a

•

b

=8sinxcosx+（4sinx-2）（2sinx+1）=4sin2x-4cos2x+2
=4

2

sin（2x-

π

4

）+2，
∴函數f（x）的最大值為 4

2

+2．
（2）在△ABC中，∵A為銳角，f（A）=6，∴4

2

sin（2A-

π

4

）+2=6，解得 sin（2A-

π

4

）=

2

2

，
∴A=

π

4

．
∴△ABC的面積為3=

1

2

•bc•sinA=

2

4

bc，∴bc=6

2

．
再根據 b+c=2+3

2

，
可得 a²=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-2bc-2bc×

2

2

=10，∴a=

10

．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，兩角和的正弦公式，正弦函數的定義域和值域、以及余弦定理的應用，屬于中檔題．