Question

【題目】已知函數f（x）=lnx．
（1）設h（x）為偶函數，當x＜0時，h（x）=f（﹣x）+2x，求曲線y=h（x）在點（1，﹣2）處的切線方程；
（2）設g（x）=f（x）﹣mx，求函數g（x）的極值；
（3）若存在x0＞1，當x∈（1，x0）時，恒有f（x）＞ 成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：x＜0時，h（x）=f（﹣x）+2x，h（x）是偶函數，

故h（x）=lnx﹣2x，（x＞0），

h′（x）= ﹣2，故h′（1）=﹣1，

故切線方程是：y+2=﹣（x﹣1），

即x+y+1=0

（2）解：g（x）=lnx﹣mx，（x＞0），

g′（x）= ﹣m，

m≤0時，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）遞增，函數無極值，

m＞0時，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜ ，令g′（x）＜0，解得：x＞ ，

故g（x）在（0， ）遞增，在（ ，+∞）遞減，

故g（x）的最大值是g（ ）=﹣lnm﹣1；無極小值

（3）證明：設g（x）=f（x）﹣ x2﹣（k﹣1）x+k﹣ ，x∈（1，+∞），

則g′（x）= ，

當x＞1時，g′（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上單調遞減，

所以當x＞1時，g（x）＜g（1）=0，

即當x＞1時，f（x）＜x﹣1；

①當k=1時，由（2）知，當x＞1時，f（x）＜x﹣1，

此時不存在x0＞1，不滿足題意；

②當k＞1時，x＞1，f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），

此時不存在x0＞1，不滿足題意；

③當k＜1時，設h（x）=f（x）﹣k（x﹣1），x＞1，

則h′（x）= ，

令h′（x）=0，即﹣x2+（1﹣k）x+1=0，

得x1= ＜0，x2= ＞1，

所以當x∈（1，x2）時，h′（x）＞0，所以h（x）在[1，x2）上單調遞增，

取x0=x2，所以當x∈（1，x0）時，h（x）＞h（1）=0，f（x）＞k（x﹣1），

綜上，實數k的取值范圍是（﹣∞，1）

【解析】（1）求出h（x）的解析式，求出函數的導數，計算h′（1）的值，求出切線方程即可；（2）求出g（x）的導數，通過討論m的范圍，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；（3）通過討論k的范圍，求出函數的單調性，結合題意求出k的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．