Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB＝3，BC＝5．

（1）求直線B₁C₁與平面A₁BC₁所成角的正弦值；
（2）在線段BC₁上確定一點D，使得AD⊥A₁B，并求的值．

Answer 1

（1）（2）

試題分析：（1）解決這類問題的思路是，根據幾何體的結構特征找出或作出所求的線面角，再設法利用三角形知識求其正弦；或是建立適當的空間直角坐標系，借助法向量和直線的方向向量求直線與平面所成角的正弦；由于該問題中的幾何體中棱的垂直關系較為明顯，可采用后者.
（2）在（1）中已建立空間直角坐標系的基礎上，用向量法解決垂直問題很是方便.
設D(x，y，z)是線段BC₁上一點，且＝λ（λ∈[0，1]）,求出向量的坐標，利用互相垂直的向量的數量積為零建立方程，求出的值.
試題解析：（1）∵AA₁C₁C為正方形，∴AA₁⊥AC．
∵平面ABC⊥平面AA₁C₁C，
∴AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．
由已知AB＝3，BC＝5，AC＝4，∴AB⊥AC．
如圖，以A為原點建立空間直角坐標系A-xyz，

則B(0，3，0)，A₁(0，0，4)，B₁(0，3，4)，C₁(4，0，4)，
∴＝(0，3，－4)，＝(4，0，0)，＝(4，－3，0)．
設平面A₁BC₁的法向量為n＝(x，y，z)，則
即
令z＝3，則x＝0，y＝4，∴n＝(0，4，3)．
設直線B₁C₁與平面A₁BC₁所成的角為θ，則
sinθ＝|cos＜，n＞|＝＝＝．
故直線B₁C₁與平面A₁BC₁所成角的正弦值為．            6分
（2）設D(x，y，z)是線段BC₁上一點，且＝λ（λ∈[0，1]），
∴(x，y－3，z)＝λ(4，－3，4)，
∴x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ，
∴＝(4λ，3－3λ，4λ)．
又＝(0，3，－4)，
由·＝0，得3(3－3λ)－4×4λ＝0，
即9－25λ＝0，解得λ＝∈[0，1]．
故在線段BC₁上存在點D，使得AD⊥A₁B．
此時＝λ＝．                         12分