Question

【題目】某科研機構研發了某種高新科技產品，現已進入實驗階段.已知實驗的啟動資金為10萬元，從實驗的第一天起連續實驗，第天的實驗需投入實驗費用為元，實驗30天共投入實驗費用17700元.

（1）求的值及平均每天耗資最少時實驗的天數；

（2）現有某知名企業對該項實驗進行贊助，實驗天共贊助元.為了保證產品質量，至少需進行50天實驗，若要求在平均每天實際耗資最小時結束實驗，求的取值范圍.（實際耗資=啟動資金+試驗費用-贊助費）

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

試題分析：（1）實驗開始后，每天的試驗費用構成公差為，首項為的等差數列，通過等差數列的求和公式計算出這天所投入的試驗費用，然后便可求出的值，再利用等差數列的求和公式求出天內總計的試驗費用，然后再求出每天的平均試驗費用，利用基本不等式便可求出平均每天耗資最少時試驗的天數；（2）先求出實際耗資的連續函數，，討論和的大小關系即可解得的取值范圍為．

試題解析：（1）依題意得，試驗開始后，每天的試驗費用構成等差數列，公差為，首項為，

∴試驗30天共花費試驗費用為，

解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

設試驗天，平均每天耗資為元，則

．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

，

當且僅當，即時取等號，

綜上得，，試驗天數為100天．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）設平均每天實際耗資為元，則

．．．．．．．．．．．8分

當，即時，

，因為，

所以，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

當，即時，當時，取最小值，

且，

綜上得，的取值范圍為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分