Question

【題目】已知為實數，用表示不超過的最大整數.

（1）若函數，求的值；

（2）若函數，求的值域；

（3）若存在且，使得，則稱函數是函數，若函數 是函數，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1，2；（2）{0，1}；（3）且且．

【解析】

（1）根據取整函數的定義直接計算；

（2）考慮與之間的大小關系，從而得到的值域；

（3）對進行分類討論：，利用單調性證明在時不成立，當時，再對分類討論：，由此求解出的取值范圍.

（1）f(1.2)=1,f(-1.2)=-2；

（2）因為[]=[]或[]=[]+1

所以若函數的值域為{0，1}

（3）當函數f（x）=x+是Ω函數時，

若a=0，則f（x）=x顯然不是Ω函數，矛盾．

若a＜0，則是一個增函數，

所以f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上單調遞增，

此時不存在m＜0，使得f（m）=f（[m]），

同理不存在m＞0，使得f（m）=f（[m]），

又注意到m[m]≥0，即不會出現[m]＜0＜m的情形，

所以此時f（x）=x+不是Ω函數．

當a＞0時，設f（m）=f（[m]），所以m+=[m]+，所以有a=m[m]，其中[m]≠0，

當m＞0時，

因為[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＜m[m]＜（[m]+1）[m]，

所以[m]2＜a＜（[m]+1）[m]，

當m＜0時，[m]＜0，

因為[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＞m[m]＞（[m]+1）[m]，

所以[m]2＞a＞（[m]+1）[m]，

記k=[m]，綜上，我們可以得到：a＞0且k∈N，a≠k2且a≠k（k+1）．