Question

【題目】已知點 為坐標原點， 是橢圓 上的兩個動點，滿足直線 與直線 關于直線 對稱.
（1）證明直線 的斜率為定值，并求出這個定值；
（2）求 的面積最大時直線 的方程.

Answer 1

【答案】
（1）證明：設直線 方程為： ，代入 得

設 ，因為點 在橢圓上，所以

又由題知，直線 的斜率與 的斜率互為相反數，在上式中以 代 ，可得
，
所以直線 的斜率
故答案為:直線 的斜率為定值，其值為
（2）解：由（1）可設直線 方程為： ，代入 得
，則 .由 可得 .
， 到直線 的距離 ，
可得 ，
當且僅當 （滿足 ），即 時取等.
故答案為:直線 的方程為： ，或 .
【解析】(1)將直線方程代入橢圓方程中消去y得關于x的一元二次方程,由韋達定理得到兩根和與積,由斜率公式求斜率;
(2)將三角形的面積表示為m的函數式,由二次函數求最值.