Question

已知函數f(x)=

1

4x+2

（1）證明：函數f（x）關于點(

1

2

，

1

4

)對稱．
（2）求f(0)+f(

1

8

)+f(

2

8

)+…+f(

7

8

)+f(1)的值．

Answer 1

分析：（1）設曲線上任意一點A（（x₁，y₁），求出它關于(

1

2

，

1

4

)的對稱點，將橫坐標代入函數f（x），看對稱點是否適合函數即可．
（2）利用（1）的對稱性，它f(0)+f(

1

8

)+f(

2

8

)+…+f(

7

8

)+f(1)中自變量，關于

1

2

對稱，所以函數值容易求得．

解答：解：（1）設曲線上任意一點A（（x₁，y₁）關于(

1

2

，

1

4

)的對稱點A′(1-x1，

1

2

-y1)，
由f(1-x1)=

1

41-x1+2

=

4x1

4+2•4x1

=

4x1+2-2

2(4x1+2)

=

1

2

-

1

4x1+2

=1-y1
所以圖象過A′(1-x1，

1

2

-y1)
所以f（x）關于點(

1

2

，

1

4

)對稱．
（2）由（1）的對稱性，所以f(

4

8

) =

1

4

，  f(

3

8

)+f (

5

8

)=f(

2

8

)+f(

6

8

)=f(

1

8

) +f(

7

8

) =f( 0)+f(1) =

1

2

f(0)+f(

1

8

)+f(

2

8

)+…+f(

7

8

)+f(1)=

9

4

點評：本題考查奇偶函數圖象的對稱性，函數的值，考查學生分析問題解決問題的能力，是中檔題．