Question

 

如圖，在直角三角形ABC中，AD是斜邊BC上的高，有很多大家熟悉的性質，例如“AB⊥AC”，勾股定理“|AB|²+|AC|²=|BC|²”和“=+”等，由此聯想，在三棱錐O-ABC中，若三條側棱OA，OB，OC兩兩互相垂直，可以推出那些結論？至少寫出兩個結論。（本題推出一個正確的結論并給出必要的推理證明給7分，滿分不超過14分）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（以下僅供參考，不同結論請酌情給分。每個正確結論給2分，證明給5分）  可以得出有以下結論：

（Ⅰ）三個側面OAB、OAC、OBC兩兩互相垂直（或OA⊥BC、OB⊥AC、OC⊥AB）

（Ⅱ）=++（H為ΔABC的重心）

（Ⅲ）++=

以下給出具體的證明：

(1)證明：∵OA⊥OC,OB⊥OC ∴OC⊥平面OAB

   ∴平面OAC⊥平面OAB  平面OBC⊥平面OAB 同理可證平面OBC⊥平面OAＣ

（2）證明：如圖二   連接AH并延長AH交BC于D連接OD 

∵OA⊥面OBC∴OA⊥OD

在RtΔABC中  ∵OH⊥OD  ∴OH·AD=AO·OD

 ∴OH²·AD²=AO²·OD²

又∵AD²= OA²+ OD²   ∴=+

 ∵AD⊥BC，由三垂線定理得：BC⊥OD

∴在RtΔOBC中  OD² ·BC² =BO²·CO²  

∴OD²=  又∵BC²= BO²+CO²

∴=+ ②  由①②得:=++

(Ⅳ) 證明：如圖二（延用（Ⅸ）中的字母a,b,c）∵H為垂心  ∴AD⊥BC

又∵OA、OB、OC兩兩垂直  ∴S_ΔOAB=ab   S_ΔOBC=bc  S_ΔOAC=ac  

S_ΔABC= BC·AD

∴++=( a² b²+ b² c²+ a² c²)= a²(b²+ c²)+b² c²…………①

又∵在RtΔBOC中,OD⊥BC  ∴OB²·OC²= b² c²=OD²·BC²=OD²·（b²+ c²）………②

∴②代入①得：++=（b²+ c²）·AD²=BC²·AD²=