Question

【題目】已知橢圓（）的離心率為，短軸的一個端點(diǎn)為.過橢圓左頂點(diǎn)的直線與橢圓的另一交點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若與直線交于點(diǎn)，求的值；

（3）若，求直線的傾斜角.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)條件可得，，再結(jié)合條件，計(jì)算得到，和，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）首先設(shè)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線的方程，并計(jì)算得到點(diǎn)的坐標(biāo)，并表示,最后根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，滿足橢圓方程，計(jì)算得到常數(shù)；（3）設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)弦長公式，解得直線的斜率，最后得到直線的傾斜角.

試題解析：（1）∵

∴

∴橢圓的方程為

（2）由（1）可知點(diǎn)，設(shè)，則

令，解得，既

∴

又∵在橢圓上，則，

∴

（3）當(dāng)直線的斜率不存在時，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其為，則

由可得，

由于，則設(shè)可得， ，

∴

∴解得

∴直線的傾斜角為或.