Question

【題目】2015年7月9日21時15分，臺風“蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮沿海登陸，給當地人民造成了巨大的財產損失，適逢暑假，小張調查了當地某小區的100戶居民由于臺風造成的經濟損失，將收集的數據分成， ， ， ， 五組，并作出如下頻率分布直方圖（圖1）：

（Ⅰ）臺風后居委會號召小區居民為臺風重災區捐款，小張調查的100戶居民捐款情況如右下表格，在圖2表格空白處填寫正確數字，并說明是否有以上的把握認為捐款數額多于或少于500元和自身經濟損失是否到4000元有關？

（Ⅱ）將上述調查所得到的頻率視為概率. 現在從該地區大量受災居民中，采用隨機抽樣方法每次抽取1戶居民，抽取3次，記被抽取的3戶居民中自身經濟損失超過4000元的人數為. 若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列，期望和方差.

附：臨界值表

	0.10	0.05	0.025
	2.706	3.841	5.024

隨機量變

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)答案見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意寫出列聯表，計算可得，所以有以上的把握認為捐款數額是否多于或少于500元和自身經濟損失是否到4000元有關．

(2)題中所給的分布列為二項分布，據此求得分布列，然后計算可得， .

試題解析：

（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，經濟損失不超過4000元的有70人，經濟損失超過4000元的有30人，則表格數據如下

	經濟損失不超過 4000元	經濟損失超過 4000元	合計
捐款超過 500元	60	20	80
捐款不超 過500元	10	10	20
合計	70	30	100

.

因為， .

所以有以上的把握認為捐款數額是否多于或少于500元和自身經濟損失是否到4000元有關．

（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知抽到自身經濟損失超過4000元居民的頻率為0.3，將頻率視為概率.

由題意知的取值可能有，

，

，

，

，

，

從而的分布列為

，