Question

已知函數f（x）=x³+

3

2

（a-1）x²-3ax+1，x∈R．
（1）討論函數f（x）的單調區間；
（2）當a=3時，若函數f（x）在區間[m，2]上的最大值為28，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出原函數的導函數，得到導函數的零點，然后分a=-1，a＞-1和a＜-1把函數的定義域分段，由導函數在各區間段內的符號判斷原函數的單調區間；
（2）把a=3代入函數解析式，求導后得到導函數的零點，把定義域分段后列表分析原函數的單調性并求出極值，結合函數的極值及函數f（x）在區間[m，2]上的最大值為28求得m的取值范圍．

解答： 解：（1）由f（x）=x³+

3

2

（a-1）x²-3ax+1，得：
f′（x）=3x²+3（a-1）x-3a=3（x-1）（x+a）．
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=-a．
①當-a=1，即a=-1時，f′（x）=3（x-1）²≥0，
f（x）在（-∞，+∞）單調遞增；
②當-a＜1，即a＞-1時，
當x＜-a或x＞1時，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-a），（1，+∞）內單調遞增．
當-a＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）在（-a，1）內單調遞減；
③當-a＞1，即a＜-1時，
當x＜1或x＞-a時，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，1），（-a，+∞）內單調遞增．
當1＜x＜-a時f′（x）＜0，f（x）在（1，-a）內單調遞減．
綜上，當a＜-1時，f（x）在（-∞，1），（-a，+∞）內單調遞增，
f（x）在（1，-a）內單調遞減；
當a=-1時，f（x）在（-∞，+∞）單調遞增；
當a＞-1時，f（x）在（-∞，-a），（1，+∞）內單調遞增，f（x）在（-a，1）內單調遞減．
（2）當a=3時，f（x）=x³+3x²-9x+1，x∈[m，2]，
f′（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1），
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=-3．
將x，f′（x），f（x）變化情況列表如下：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，2]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大	↘	極小	↗

由此表可得，f（x）_極大值=f（-3）=28，f（x）_極小值=f（1）=-4．
又f（2）=3＜28，
故區間[m，2]內必須含有-3，即m的取值范圍是（-∞，-3]．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數求函數的極值，是中檔題．