Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx．其中常數(shù)a＞0
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點(diǎn)P（x₀，h（x₀））處的切線l的方程為y=g（x），當(dāng)x≠x₀時(shí)，若

h(x)-g(x)

x-x0

＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為y=h（x）的“類對稱點(diǎn)”，當(dāng)a=4時(shí)，試問y=f（x）是否存在“類對稱點(diǎn)”？若存在，請至少求出一個(gè)“類對稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對a分情況進(jìn)行討論，
（Ⅱ）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=x²-6x+4lnx，求出f′（x）=2x+

4

x

-6，得到令φ（x）=f（x）-g（x）=x²-6x+4lnx-（2x₀+

4

x0

-6）（x-x₀）+x02-6x₀+4lnx₀，
求出函數(shù)φ（x）的導(dǎo)數(shù)，再通過討論x的范圍得出結(jié)論．

解答： 解；（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），
∴f′x）=2x-（a+2）+

a

x

=

2x2-(a+2)x+a

x

=

(2x-a)(x-1)

x

，
①當(dāng)

a

2

=1，即a=2時(shí)，f′（x）=

2(x-1)2

x

≥0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），
②當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，
由f′（x）＞0得：0＜x＜1或x＞

a

2

，
由f（x）＜0得：1＜x＜

a

2

；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）和（

a

2

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，

a

2

）
③當(dāng)

a

2

＜1，即0＜a＜2時(shí)，
由f′（x）＞0得：0＜x＜

a

2

或x＞1，由f′（x）＜0得：

a

2

＜x＜1
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

a

2

）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（

a

2

，1）．
（Ⅱ）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=x²-6x+4lnx，
∴f′（x）=2x+

4

x

-6，
y=g（x）=（2x₀+

4

x0

-6）（x-x₀）+x02-6x₀+4lnx₀，
令φ（x）=f（x）-g（x）=x²-6x+4lnx-（2x₀+

4

x0

-6）（x-x₀）+x02-6x₀+4lnx₀，
則φ（x₀）=0，
φ′（x）=2x+

4

x

-6-（2x₀+

4

x0

-6）
=2（x-x₀）（1-

2

x0x

）
=

2

x0

（x-x₀）（x₀-

2

x

）
=

2

x0

（x-x₀）（

x0x-2

x

），
當(dāng)x₀＜

2

時(shí)，φ（x）在（x₀，

2

x0

）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x∈（x₀，

2

x0

）時(shí)，φ（x）＜φ（x₀）=0，
從而有x∈（x₀，

2

x0

）時(shí)，

φ(x)

x-x0

＜0，
當(dāng)x₀＞

2

時(shí)，φ（x）在（

2

x0

，x₀）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x∈（

2

x0

，x₀）時(shí)，φ（x）＞φ（x₀）=0，
從而有x∈（

2

x0

，x₀）時(shí)，

φ(x)

x-x0

＜0，
∴當(dāng)x∈（0，

2

）∪（

2

，+∞）時(shí)，y=f（x）不存在“類對稱點(diǎn)”．
當(dāng)x₀=

2

時(shí)，φ′（x）=

2

x

(x-

2

)2
∴φ（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故

φ(x)

x-x0

＞0，
所以當(dāng)x₀=

2

時(shí)，y=f（x）存在“類對稱點(diǎn)”．

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，新概念的引出，滲透了分類討論思想，本題是一道綜合題．