Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， 已知S2=6，an+1=4Sn+1，n∈N* ．
（1）求通項an；
（2）設bn=an﹣n﹣4，求數列{|bn|}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an+1=4Sn+1，①

∴當n≥2時，an=4Sn﹣1+1，②

由①﹣②，得

an+1﹣an=4（Sn﹣Sn﹣1）=4an（n≥2），

∴當n≥2時，an+1=5an（n≥2），

∴ =5．

∵S2=6，an+1=4Sn+1，n∈N*．

∴ ，

解得 ，

∴ =5，

∴數列{an}是首項a1=1，公比為5的等邊數列，

∴an=5n﹣1；

（2）解：由題意知|bn|=|5n﹣1﹣n﹣4|，n∈N*．

易知，當n≤2時，5n﹣1＜n+4；當n≥3時，5n﹣1＞n+4．

∴當n≤2時，|bn|=n+4﹣5n﹣1；

當n≥3時，|bn|=5n﹣1﹣（n+4），

∴T1=b1=4，T2=b1+b2=5．

當n≥3時，Tn=T2+b2+b3+…+bn

=5+[52﹣（3+4）+[52﹣（4+4）]+…+[5n﹣1﹣（n+4）]

=5+（52+53+…+5n﹣1）﹣[（3+4）+（4+4）+…+（n+4）]

=5+ ﹣

= ．

又∵T1=4不滿足上式，T2=5滿足上式，

∴Tn=

【解析】（1）利用已知條件和變形等式an=4Sn﹣1+1推知數列{an}是等邊數列，根據等比數列的通項公式進行解答；（2）利用（1）中的通項公式推知{|bn|}的通項公式．然后由分組求和法來求數列{|bn|}的前n項和Tn ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．