Question

已知：函數f（x）=a•lnx+bx²+x在點（f，f（1））處的切線方程為x-y-1=0．
（1）求f（x）的表達式；
（2）設函數y=

1

2

f(x)+

x(x-1)

2

的反函數為p（x），t（x）=p（x）（1-x），求函數t（x）的最大值；
（3）在（2）中，問是否存在正整數N，使得當n∈N₊且n＞N時，不等式p(-1)+p(-

1

2

)+p(-

1

3

) +p(-

1

n

) ＜n-2011恒成立？若存在，請找出一個滿足條件的N的值，并給以說明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當x=1時，y=0，代入f（x）=a•lnx+bx²+x得b=-1，再利用切線的幾何意義求得a值，最后寫出函數的解析式即可；
（2）由（1）得函數y=

1

2

f(x)+

x(x-1)

2

=lnx，它的反函數為p（x）=e^x，求其導數，利用導數大于0原函數是增函數，導數小于0原函數是減函數，進而求出函數t（x）的最大值．
（3）由（2）得p（x）（1-x）≤1，從而有當x＜1時，有p（x）≤

1

1-x

，將原不等式轉化成不等式n-（

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

）＜n-2010，利用調和級數的和，從而得到取N=[e^2010+C]，當n＞N時，不等式p(-1)+p(-

1

2

)+p(-

1

3

) +p(-

1

n

) ＜n-2011恒成立．

解答：解：（1）當x=1時，y=0，代入f（x）=a•lnx+bx²+x得b=-1，
f′（x）=

a

x

-2x+1，由切線方程知f′（1）=1，∴a=2，
故f（x）=2lnx-x²+x．
（2）由（1）得函數y=

1

2

f(x)+

x(x-1)

2

=lnx，它的反函數為p（x）=e^x，
∴t（x）=e^x•（1-x），
∴t′（x）=-e^x•x，
當t′（x）=0時，x=0，當t′（x）＞0時，x＞0，當t′（x）＜0時，x＜0．
∴t（x）=e^x•（1-x）在區間（-∞，0）上是減函數，在區間（0，+∞）上是增函數，
∴當x=0時，函數t（x）的最大值為1．
（3）由（2）得p（x）（1-x）≤1，
∴當x＜1時，有p（x）≤

1

1-x

不等式p(-1)+p(-

1

2

)+p(-

1

3

) +…+p(-

1

n

) ＜

1

2

+

1

1+ 1 2

+

1

1+ 1 3

+…+

1

1+ 1 n

=

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

n

n+1

=（1-

1

2

）+（1-

1

3

）+（1-

1

4

）+…（1-

1

n+1

）
=n-（

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

）≈n-ln（n+1）+C（C=0.57722…一個無理數，稱作歐拉初始）
當n-ln（n+1）+C＜n-2010時，原不等式恒成立，
故只須ln（n+1）＞2010+C，即n+1＞e^2010+C，也即n＞e^2010+C-1，
故取N=[e^2010+C]，當n＞N時，不等式p(-1)+p(-

1

2

)+p(-

1

3

) +p(-

1

n

) ＜n-2011恒成立．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、反函數、不等式的證明等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．