Question

（2006•東城區(qū)三模）如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠CAB=90°，AB=2，AA₁=1，AC=

2 3

3

，AE⊥BC于E，F(xiàn)為A₁B₁的中點．
（1）求異面直線AE與BF所成角的大小；
（2）求二面角A-BF-C的大小；
（3）求點A到平面BCF的距離．

Answer 1

分析：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，以AB所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸，AA₁所在的直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標系，求出

AE

與

BF

的坐標，直接由兩向量所成的角求解異面直線AE與BF所成角的大小；
（2）求出二面角A-BF-C的兩個半平面所在平面的法向量，利用平面法向量所成的角求解二面角的大小；
（3）利用空間向量求點A到平面BCF的距離．

解答：解：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
以AB所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸，AA₁所在的直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標系．
由已知AB=2，AA₁=1，AC=

2

3

3

．
可得A（0，0，0），B（2，0，0），E（

1

2

，

3

2

，0），F(xiàn)（1，0，1），C（0，

2 3

3

，0）．

AE

=(

1

2

，

3

2

，0)，

BC

=(-2，

2 3

3

，0)，

BF

=(-1，0，1)
∴cos＜

AE

，

BF

＞=

AE • BF

| AE || BF |

=

- 1 2

2

=-

2

4

∴異面直線AE與BF所成角的大小為arccos

2

4

；
（2）設

n

=(x，y，z)是平面BCF的一個法向量，
由

n • BF =0 n • BC =0.

可得

-x+z=0 2x- 2 3 3 y=0.

即

x=z 3 x=y.

令z=1，可得

n

=(1，

3

，1)．
取平面ABF的一個法向量為

m

=(0，1，0)
cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

3

5

=

15

5

即二面角A-BF-C的大小為arccos

15

5

．
（3）點A到平面BCF的距離，即

AB

在平面BCF的法向量

n

的投影的絕對值，
所以距離d=||

AB

|cos＜

AB

，

n

＞|=

| AB • n |

| n |

=

2 5

5

．
所以點A到平面BCF的距離為

2 5

5

．

點評：本題考查了利用空間向量求空間角的問題，解答的關鍵是建立正確的空間右手系，同時注意利用空間向量求空間叫何空間距離的公式，是中檔題．