Question

設函數與數列滿足關系：(1)  a_1.>a, 其中a是方程的實根，(2) a_n+1= (nN⁺ )  ,如果的導數滿足0<<1
（1）證明： a_n>a （2）試判斷a_n與a_n+1的大小，并證明結論。 

Answer 1

對任意正整數n都有a _n> a _n+1 .

解析證明：(1)當n=1時，由題設知a ₁> a成立。
假設n=k時,  a _k> a成立   (k)，
由>0知增函數，則，
又由已知: =a，
于是a _k+1> a，即對n=k+1時也成立，
故 對任意正整數n,  a _n> a都成立。
解：(2)令則
     故為增函數
則 當x> a時,有
而
 即
由(1)知a _n> a         ()
故 對任意正整數n都有a _n> a _n+1 .