Question

【題目】已知函數f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|．
（1）作出函數f（x）的圖象；
（2）若不等式 ≤f（x）有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令2x﹣1=0，得x= ，

令x﹣1=0，得x=1；

當x＜ 時，函數f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=﹣（2x﹣1）+2（x﹣1）=﹣1；

當 ≤x≤1時，函數f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=（2x﹣1）+2（x﹣1）=4x﹣3；

當x＞1時，函數f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=（2x﹣1）﹣2（x﹣1）=1；

∴f（x）= ，

作出函數f（x）的圖象，如圖所示；

（2）解：由函數f（x）的圖象知，f（x）的最大值是1，

所以不等式 ≤f（x）有解，等價于 ≤1有解，

不等式 ≤1可化為 ﹣1≤0

（2a﹣1）（a﹣1）≥0（a≠1），解得a≤ 或a＞1，

所以實數a的取值范圍是（﹣∞， ]∪（1，+∞）

【解析】（1）去掉絕對值，化簡函數f（x），作出函數f（x）的圖象即可；（2）由函數f（x）的圖象知函數的最大值是1，問題等價于 ≤1有解， 求出解集即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．