【題目】已知函數(shù)
.
（1）當
時，求
的單調(diào)區(qū)間；
（2）當
，
，且
，關(guān)于
的方程
有唯一實數(shù)解，求實數(shù)
的值.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為
，單調(diào)遞減區(qū)間為
；（2）
.
【解析】
（1）將
代入函數(shù)
的解析式，求出該函數(shù)的定義域與導數(shù)，利用導數(shù)能求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間與減區(qū)間；
（2）由題意知，方程
有唯一實數(shù)解，由參變量分離法得知方程
有唯一解（其中
），構(gòu)造函數(shù)
，利用導數(shù)研究函數(shù)
的單調(diào)性與極值，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出正實數(shù)
的值.
（1）當時，
，定義域為
，
.
當
時，
；當
時，
.
所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
，單調(diào)遞減區(qū)間為
；
（2）當
，
時，
，
由于，由題意知，方程有唯一實數(shù)解，則方程有唯一解，
構(gòu)造函數(shù)，其中
，則
，令
，得
.
因為函數(shù)
在其定義域上為減函數(shù) ，
當
時，
；當
時，
.
所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
，單調(diào)遞減區(qū)間為
，
所以，函數(shù)的極小值為
，作出函數(shù)和
的圖象如下圖所示：
，則
，由圖象可知，當
時，即當時，直線與函數(shù)的圖象只有一個交點，因此，.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖1，四棱錐
中，
底面
，面是直角梯形，
為側(cè)棱
上一點.該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示.
（1）證明：
平面
；
（2）線段
上是否存在點
，使
與
所成角的余弦值為
？若存在，找到所有符合要求的點，并求
的長；若不存在，說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分12分）
某高校設(shè)計了一個實驗學科的實驗考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作。規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提交通過。已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是
，且每題正確完成與否互不影響。
（Ⅰ）分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計算數(shù)學期望；
（Ⅱ）試從兩位考生正確完成題數(shù)的數(shù)學期望及至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的實驗操作能力．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】2021年福建省高考實行“
”模式.“”模式是指：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學、外語，所有學生必考；“1”為首選科目，考生須在高中學業(yè)水平考試的物理、歷史科目中選擇1科；“2”為再選科目，考生可在化學、生物、政治、地理4個科目中選擇2科，共計6個考試科目.
（1）若學生甲在“1”中選物理，在“2”中任選2科，求學生甲選化學和生物的概率；
（2）若學生乙在“1”中任選1科，在“2”中任選2科，求學生乙不選政治但選生物的概率.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】全民健身倡導全民做到每天參加一次以上的體育健身活動，旨在全面提高國民體質(zhì)和健康水平.某部門在該市2013-2018年發(fā)布的全民健身指數(shù)中，對其中的“運動參與評分值
”（滿分100分）進行了統(tǒng)計，制成如圖所示的散點圖.
（1）根據(jù)散點圖，建立關(guān)于
的回歸方程
；
（2）從該市的市民中隨機抽取了容量為150的樣本，其中經(jīng)常參加體育鍛煉的人數(shù)為50，以頻率為概率，若從這150名市民中隨機抽取4人，記其中“經(jīng)常參加體育鍛煉”的人數(shù)為
，求的分布列和數(shù)學期望.
附：對于一組數(shù)據(jù)
，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
，
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，側(cè)面
底面
，
，
為
中點，底面是直角梯形，
，
，
，
.
（1）求證：
平面
；
（2）設(shè)
為棱上一點，
，試確定
的值使得二面角
為
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率
，短軸的一個端點到焦點的距離為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）
，
是橢圓上的兩點，線段
的中點在直線
上，求直線的斜率的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓
，過動點M（0，m）的直線交x軸于點N，交橢圓C于A，P（其中P在第一象限，N在橢圓內(nèi)），且M是線段PN的中點，點P關(guān)于x軸的對稱點為Q，延長QM交C于點B，記直線PM，QM的斜率分別為k1，k2．
（1）當
時，求k2的值；
（2）當
時，求直線AB斜率的最小值．
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