Question

【題目】如圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，為側(cè)棱上一點(diǎn).該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示.

（1）證明：平面；

（2）線段上是否存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點(diǎn)，并求的長(zhǎng)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）存在；點(diǎn)位于點(diǎn)處，此時(shí)；或中點(diǎn)處，此時(shí)

【解析】

(1)利用俯視圖和勾股定理逆定理可得,再推出,即可推出結(jié)論.

(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)(),依據(jù)題設(shè)條件列出等式求解,有解則存在,無(wú)解則不存在.

(1)證明:由俯視圖可得,,

所以,

又因?yàn)?/span>平面,

所以,

又,

所以平面;

(2)線段上存在點(diǎn),使與所成角的余弦值為.

證明如下:

因?yàn)?/span>平面,,

所以兩兩垂直,故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

所以,,,,.

設(shè),其中.

所以,.

要使與所成角的余弦值為,則有,

所以,解得或2,均適合.

故點(diǎn)位于點(diǎn)處,此時(shí);或中點(diǎn)處,此時(shí),

有與所成角的余弦值為.