Question

已知：x∈N^*，y∈N^*，且 

1

x

+

n2

y

=1（n∈N^*）．
（Ⅰ）當n=3時，求x+y的最小值及此時的x、y的值；
（Ⅱ）若n∈N^*，當x+y取最小值時，記a_n=x，b_n=y，求a_n，b_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n，試求

lim

n→∞

Tn

n•Sn

的值．
注：12+22+32+…+n2=

1

6

n(n+1)(2n+1)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當n=3時，則有

1

x

+

9

y

=1則，x+y=(x+y)(

1

x

+

9

y

)=10+

y

x

+

9x

y

≥16可求最小值及此時的x，y的值，
（Ⅱ）由

1

x

+

n2

y

=1可得，x+y=(x+y)(

1

x

+

n2

y

)=n2+1+

y

x

+

n2x

y

≥(n+1)2，當

x=n+1 y=n(n+1)

時取等號的條件可得a_n，b_n
（Ⅲ）利用等差數列的求和公式可得S_n=a₁+a₂+…+a_n，利用分組組求和及等差、等比數列的求和公式可求T_n=b₁+b₂+…+b_n，代入可求極限

解答：解：（Ⅰ）當n=3時，則有

1

x

+

9

y

=1
∴，x+y=(x+y)(

1

x

+

9

y

)=10+

y

x

+

9x

y

≥16，
當且僅當

y

x

=

9x

y

，即

x=4 y=12

時，取等號．所以，當

x=4 y=12

時，x+y的最小值為16．
（Ⅱ）∵，

1

x

+

n2

y

=1，∴，x+y=(x+y)(

1

x

+

n2

y

)=n2+1+

y

x

+

n2x

y

≥(n+1)2，
當且僅當

y

x

+

n2x

y

，即

x=n+1 y=n(n+1)

時，取等號．所以，a_n=n+1，b_n=n（n+1）．
（Ⅲ）因為S_n=a₁+a₂+…+a_n=2+3+…+(n+1)=

1

2

n(n+3)，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=（1+1²）+（2+2²）+（3+3²）+…+（n+n²）=（1+2+3+…+n）+（1²+2²+…+n²）=

n(n+1)

2

+

1

6

n(n+1)(2n+1)=

1

3

n(n+1)(n+2)
所以

lim

n→∞

Tn

n•Sn

=

2

3

．

點評：本題是一道綜合性比較好的試題，題目中考查了基本不等式在求解最值及取得最值的條件中的應用，還考查了等差數列、等比數列的求和公式及分組求和的方法的應用．