Question

已知冪函數y=f（x）經過點(2，

1

2

)，
（1）試求函數解析式；
（2）判斷函數的奇偶性并寫出函數的單調區間；
（3）試解關于x的不等式f（3x+2）+f（2x-4）＞0．

Answer 1

分析：（1）設y=a^x，代入(2，

1

2

)可得a值，從而得到冪函數的解析式．
（2）根據函數解析式求出定義域，在考查f（-x）與f（x）的關系，依據函數奇偶性的定義作出判斷．
（3）將不等式化為f（3x+2）＞f（4-2x），分3x+2與2x-4都是正數、都是負數、異號三種情況，依據函數的單調性及函數值范圍列出不等式組，最后把各個不等式組的解集取并集．

解答：解：（1）設y=a^x，代入(2，

1

2

)，
得a=-1，∴y=

1

x

，x≠0．
（2）定義域（-∞，0）∪（0，+∞），又  f(-x)=-

1

x

=-f(x)，
∴f（x）為奇函數．
單調區間（-∞，0），（0，+∞）
（3）由f（3x+2）+f（2x-4）＞0得 f（3x+2）＞-f（2x-4），
即 f（3x+2）＞f（4-2x），
①當3x+2＞0，4-2x＞0時，

3x+2＞0 4-2x＞0 3x+2＜4-2x

∴-

2

3

＜x＜

2

5

，
②當3x+2＜0，4-2x＜0時，

3x+2＜0 4-2x＜0 3x+2＜4-2x

，x無解，
③當3x+2與4-2x異號時，

3x+2＞0 4-2x＜0

，x＞2，
綜上所述，-

2

3

＜x＜

2

5

或x＞2．

點評：本題考查用待定系數法求函數解析式、奇偶性，求函數單調區間、定義域，以及利用單調性、奇偶性解不等式．