Question

（本題滿分16分）在平面直角坐標系中，已知圓：，圓：（，且）.
（1）設為坐標軸上的點，滿足：過點P分別作圓與圓的一條切線，切點分別為、，使得，試求出所有滿足條件的點的坐標；
（2）若斜率為正數的直線平分圓，求證：直線與圓總相交.

Answer 1

（1）或（2）見解析

（1）設點的坐標為，圓與圓的半徑分別為，
由題意得，
即  3分
化簡得，   5分
因為為坐標軸上的點，
所以點的坐標為或.    7分
（2）依題意可設直線的方程為：，，化簡得，
則圓心到直線的距離為，
又圓的半徑為，   10分
所以，“直線與圓總相交”等價于
“，且，，
即 ①，”     12分
記，整理得，
當時，；
當時，判別式，解得；
綜上得，的最小值為1，      14分
所以，①式，即證．       16分
【命題意圖】本題考查直線與圓知識 ，意在考查運算求解能力，數學綜合論證能力.