Question

若橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距為2

5

，且過點(diǎn)（-3，2），⊙O的圓心為原點(diǎn)，直徑為橢圓的短軸，⊙M的方程為（x-8）²+（y-6）²=4，過⊙M上任一點(diǎn)P作⊙O的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線PA與⊙M的另一交點(diǎn)為Q，當(dāng)弦PQ最大時(shí)，求直線PA的直線方程；
（3）求

OA

•

OB

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距為2

5

，且過點(diǎn)（-3，2），可得

9 a2 + 4 b2 =1 2c=2 5 a2=b2+c2

，解出即可．
（2）由于⊙O的圓心為原點(diǎn)，直徑為橢圓的短軸，可得⊙O的方程為x²+y²=10．當(dāng)弦PQ最大時(shí)，即PQ是⊙M的直徑．設(shè)直線PA的方程為y-6=k（x-8），即kx-y+6-8k=0．由于直線PA與⊙O相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：點(diǎn)O到直線PA的距離d=

10

，解出即可．
（3）設(shè)∠AOB=2θ，θ∈(0，

π

2

)，可得2θ∈（0，π）．利用數(shù)量積可得

OA

•

OB

=|

OA

| |

OB

|cos∠AOB=10cos2θ，由于cos2θ在θ∈(0，

π

2

)上單調(diào)遞減，因此當(dāng)θ取得最小值時(shí)，cos2θ取得最大值．由于cosθ=

10

OP

，因此當(dāng)OP取得最小值時(shí)，cosθ取得最大值．當(dāng)P點(diǎn)取OM與⊙M的交點(diǎn)時(shí)，OP取得最小值．求出即可．

解答：解：（1）由橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距為2

5

，且過點(diǎn)（-3，2），∴

9 a2 + 4 b2 =1 2c=2 5 a2=b2+c2

，
解得

c= 5 b2=10 a2=15

，
∴橢圓的方程為

x2

15

+

y2

10

=1．
（2）∵⊙O的圓心為原點(diǎn)，直徑為橢圓的短軸，∴⊙O的方程為x²+y²=10．
當(dāng)弦PQ最大時(shí)，即PQ是⊙M的直徑，
設(shè)直線PA的方程為y-6=k（x-8），即kx-y+6-8k=0．
∵直線PA與⊙O相切，∴點(diǎn)O到直線PA的距離d=

10

，
∴

|6-8k|

k2+1

=

10

，解得k=

1

3

或

13

9

．
∴直線PA的方程為

1

3

x-y+6-

8

3

=0，或

13

9

x-y+6-

104

9

=0，
化為x-3y+10=0，或13x-9y-50=0．
（3）設(shè)∠AOB=2θ，∵θ∈(0，

π

2

)，∴2θ∈（0，π）．

OA

•

OB

=|

OA

| |

OB

|cos∠AOB=10cos2θ，
∵2θ∈（0，π），∴cos2θ在θ∈(0，

π

2

)上單調(diào)遞減，
因此當(dāng)θ取得最小值時(shí)，cos2θ取得最大值．
∵cosθ=

10

OP

，∴當(dāng)OP取得最小值時(shí)，cosθ取得最大值．
當(dāng)P點(diǎn)取OM與⊙M的交點(diǎn)時(shí)，OP取得最小值．
又|OP|=|OM|-2=

62+82

-2=8．
∴cosθ=

10

8

，cos2θ=2cos²θ-1=-

11

16

．
∴

OA

•

OB

取得最大值10×(-

11

16

)=-

55

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圓的切線性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算、三角函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．