Question

若橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e為

3

5

，且橢圓C的一個焦點與拋物線y²=-12x的焦點重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點M（2，0），點Q是橢圓上一點，當(dāng)|MQ|最小時，試求點Q的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（m，0）為橢圓C長軸（含端點）上的一個動點，過P點斜率為k的直線l交橢圓與A，B兩點，若|PA|²+|PB|²的值僅依賴于k而與m無關(guān)，求k的值．

Answer 1

分析：（1）先求出焦點的坐標(biāo)，再由離心率求得半長軸的長，從而得到短半軸長，即可寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）用坐標(biāo)表示出|MQ|²，利用配方法可得結(jié)論；
（3）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示出|PA|²+|PB|²，根據(jù)|PA|²+|PB|²的值僅依賴于k而與m無關(guān)，可得等式，從而可求k的值．

解答：解：（1）由題意可得：拋物線y²=-12x的焦點（-3，0），
∵e=

c

a

=

3

5

，∴a=5，∴b=

a2-c2

=4
∴橢圓C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1；
（2）設(shè)Q（x，y），-5≤x≤5
∴|MQ|²=（x-2）²+y²=

9

25

x2-4x+20
∵對稱軸為x=

50

9

＞5，∴x=5時，|MQ|²取得最小值
∴當(dāng)|MQ|最小時，點Q的坐標(biāo)為（5，0）；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：y=k（x-m）
直線代入橢圓方程，消去y可得（25k²+16）x²-50mk²x+25m²k²-400=0
∴x₁+x₂=

50mk2

25k2+16

，x₁x₂=

25m2k2-400

25k2+16

∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2km=-

32mk

25k2+16

，y₁y₂=

(16m2-400)k2

25k2+16

∴|PA|²+|PB|²=(x1-m)2+y12+(x2-m)2+y22=（k²+1）•

(512-800k2)m2+800(25k2+16)

(25k2+16)2

∵|PA|²+|PB|²的值僅依賴于k而與m無關(guān)，
∴512-800k²=0，解得k=±

4

5

．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查配方法的運(yùn)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．